V raziskavi Karst, ki jo je Evropski raziskovalni svet lani nagradil s sredstvi v okviru sinergijskih projektov, bodo vzpostavili modele za napovedovanje kraških procesov, ocenili ranljivost kraških vodotokov in napovedali njihov odziv na ekstremne dogodke. Za matematični del raziskave bo skrbel svetovno priznani matematik na področju teorije grafov in teoretičnega računalništva prof. dr. Bojan Mohar s Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani.

Kraški vodotoki so vir pitne vode za okoli 25 odstotkov svetovne populacije. Hkrati so te vode sposobne hitrega pretoka in prenosa morebitnega onesnaženja. Kljub pomembnosti krasa in večletnim raziskavam ostajajo kraške strukture in procesi področje, ki ga je izjemno težko oceniti. V projektu Karst bodo skušali pridobiti podatke, s katerimi bodo lahko modelirali pretoke v kraških sistemih. Projekt je izrazito interdisciplinaren. Poleg prof. Bojana Moharja v njem sodelujejo tudi prof. dr. Marco Dentz s španskega inštituta IDAEA (področje fizike), prof. dr. Benoît Noetinger s francoskega inštituta IFP Energies nouvelles (področje mehanike tekočin) in prof. dr. Philippe Renard z Univerze v Neuchâtelu v Švici (področje hidrogeologije).

S profesorjem Moharjem smo se pogovarjali o pomenu teh raziskav, o razvoju teorije grafov in o njegovi razpetosti med Slovenijo in Kanado.

Kateri so cilji projekta Karst?

Glavni cilj je razumeti, kako vodni tokovi delujejo na krasu, predvsem v ekstremnih razmerah. Ta sistem je precej specifičen, rovi, po katerih se pretaka voda, so različne velikosti. Ponekod voda pronica skozi porozni material, drugod so se že oblikovale ogromne dvorane. Razumeti želimo to omrežje vodnih tokov, kako se obnaša v normalnih in ekstremnih razmerah, ko je vode premalo ali preveč.

Obnašanje vode lahko fizikalno lepo opišemo, vendar gre za kompleksne enačbe in teoretično obstaja veliko nerešenih problemov, še posebej ko se stabilnost poruši. Podobni problemi so tudi v drugih sistemih, denimo v globalnem vremenskem sistemu.

Problem kraškega povodja je seveda v tem, da ne vemo, kako poteka, saj je skrito našim očem. Tu nastopi matematika, za ocenjevanje se namreč uporabljajo stohastične metode. Stohastične modele bi lahko uporabljali za računske postopke za ugotavljanje, kakšni so pretoki voda v kraškem sistemu in kakšni bi bili v ekstremnih razmerah. To pomeni, da skušamo z neko verjetnostjo ugotoviti, za kakšno omrežje gre. V zadnjem desetletju so raziskave s področja teorije omrežij zelo napredovale. Veliko se raziskuje predvsem socialna omrežja. Kraška omrežja pa so drugačnega tipa in zame osebno velik izziv.

Novi projekt ERC za slovenskega znanstvenika

Projekt je zelo interdisciplinaren. Kako ste se dogovorili za vsebino projekta in zakaj ste izbrali ravno kras?

Sinergijski ERC-projekti zahtevajo interdisciplinarnost. Skupina mora biti sestavljena iz različnih komplementarnih znanstvenikov – vsak prinese delček znanja, brez katerega drugi ne bi mogli dobiti prebojnih rezultatov. Skupina mora biti hkrati heterogena in homogena.

Raziskave krasa segajo več kot sto let v preteklost, vendar so šele danes na voljo tehnologije, ki omogočajo preboje. Kolegi fiziki so ugotovili, da bi lahko s teorijo grafov in teorijo omrežij napredovali v razumevanju, kaj se dogaja v tipičnih kraških sistemih. Kras je zelo razširjen po vsem svetu in zato tudi geološko zelo raznolik. Mi bomo skušali opisati neki tipičen sistem, na podlagi tega bomo lahko modelirali neznanke podzemnega sistema, v katerega lahko vpogledamo le na določenih mestih, nikoli pa ne v celoti.

Z mano je vzpostavil stik kolega iz Francije, ko je na internetu iskal, kdo ima potrebno znanje. Sprva sem imel pomisleke, a ko smo se pogovarjali o matematičnih ciljih, sem videl, da gre za probleme, ki so mi pisani na kožo. V preteklosti sem raziskoval ravno na področjih, ki so pomembna za ta projekt.

Izdelali boste stohastične modele, vemo, da je modeliranje v času, ko se svet močno spreminja zaradi podnebnih sprememb, še kako pomembno za razumevanje teh sprememb.

Če vemo, kakšen je neki sistem, lahko izračunamo obnašanje v takšnih ali drugačnih razmerah. Vendar celotnega kraškega sistema ne poznamo, zato si pomagamo s stohastičnimi metodami. Potem lahko predvidimo, kako bi se sistem obnašal v primeru izjemnih padavin. V običajnih razmerah lahko fiziki naredijo meritve. Če pa skušamo napovedati, kaj se bo zgodilo v primeru ekstremnih razmer, ki jih doslej še nismo imeli, govorimo o modelskih napovedih. To so kompleksne napovedi, podobno, kot delajo vremenoslovci.

Torej, najprej je pomembno, da razumemo tipičen kraški sistem. Druga komponenta pa je, kako ugotoviti, kakšen bo pretok vode na globalni ravni, če ga poznamo na lokalni. Korak naprej bo posplošenje modelov z lokalnih na globalne. Pretok tekočine lahko opišemo s tako imenovanim Darcyjevim zakonom in Navier-Stokesovimi enačbami. Vendar je obnašanje tekočine odvisno tudi od geometrije cevi, na primer, ali so v njej ovire, ali so stene gladke. Ti zakoni v hidrologiji niso povsem raziskani in jih želimo potrditi z eksperimenti. Pri tem si bomo pomagali z modeli, ki jih bomo naredili s tridimenzionalnimi tiskalniki. Za določanje pretočne funkcije bomo najprej uporabili moderne laserske tehnologije za vizualizacijo vektorskega polja hitrosti delcev v tekočini, ki jih je razvila skupina sodelavcev na Ifpenu. Zatem bomo rezultate verificirali tudi z numeričnimi simulacijami Navier-Stokesovih enačb.

Poznavanje pretokov oziroma transporta tekočin je pomembno v primeru onesnaženja, saj bomo tako lahko ocenili, kako se bo onesnaženje preneslo, kam in kako hitro. Možno je tudi obratno, da najprej zaznamo onesnaženo vodo in nato lahko po modelu pridemo do vira onesnaženja.

Upam, da bo znanje, ki ga bomo pridobili v projektu, uporabno tudi za zaščito kraškega sveta, tako pri nas kot drugod po svetu.

Glavni cilj projekta Karst je razumeti, kako vodni tokovi delujejo na krasu, predvsem v ekstremnih razmerah. FOTO: Jože Suhadolnik

Kako je to kraško omrežje primerljivo z drugimi, s katerimi se ukvarjate?

V matematiki takemu sistemu rečemo geometrijsko omrežje, ker so povezave pogojene s tridimenzionalnim prostorom. Enostavna primera sta cestno in železniško omrežje. Matematični opis je pri obeh enak. Kraško omrežje pa je precej drugačno. Pri njem gre za dinamično obliko, kjer se razmere spreminjajo. Podobno omrežje nastane tudi pri taljenju ledenikov, ko se naredijo struge, po katerih teče voda, najprej so majhne, nato se zaradi nadaljnjega taljenja povečujejo, torej spreminjajo. Podobno se spreminja tudi kraški sistem. Pri našem opisu krasa bomo skušali razumeti tudi genezo kraškega sistema, ki se lahko razvije v nekaj tisoč ali nekaj deset tisoč letih.

Podobna omrežja najdemo tudi v našem telesu. Takšna primera sta kapilarni sistem ali pa nevroni. Nevronsko omrežje je znova drugačnega tipa, geometrija je tudi tukaj prisotna, nevroni so vloženi v tridimenzionalni prostor, vendar so med seboj prepleteni in delujejo drugače od hidroloških sistemov. V vseh teh primerih pa omrežje matematično opišemo s teorijo grafov.

Kako razvito je področje teorije grafov?

To je novejša veja matematike, stara dobrih sto let. Nekateri rezultati, ki sodijo v teorijo grafov, so bili spoznani že pred tem, predvsem v povezavi z geometrijskimi telesi. Pomembno pa se je področje razvilo zaradi uporabe v računalništvu. Računalniške sisteme in mnoge osnovne računalniške procese opišemo ravno s teorijo grafov.

Znanost in vsakdanje življenje sta zelo prepletena

Med drugim iskalnik google.

Da. Teoretični matematik je kot pesnik. Ta napiše pesem zato, ker je lepa, nima pa nujno uporabne vrednosti. Mi skušamo zapisati in razumeti abstraktne sisteme. V abstraktnem svetu raziskujemo le določene lastnosti, saj so ti sistemi lahko zelo kompleksni. Prej ali slej pa se naši rezultati začnejo uporabljati tudi v praksi. Včasih dobimo problem tudi iz prakse, kako, denimo, dodeliti pomnilnik različnim procesom, ki se izvajajo v računalniku, ali kako izbrati najhitrejšo pot v navigacijskem sistemu. Take in mnoge druge probleme lahko opišemo in rešujemo z uporabo teorije grafov.

Na začetku kariere sem se ukvarjal s spektralno teorijo grafov, to je dokaj algebrajsko področje. V nekem smislu zelo abstraktno, ker grafu prilagodimo matriko, potem pa se vprašamo, kakšne so lastne vrednosti te matrike. Na prvi pogled lastne vrednosti grafa nimajo nobenega pomena. Vendar smo matematiki pokazali, kako te lastne vrednosti vplivajo na lastnosti grafa. Larry Page in Sergey Brin sta algoritem za iskanje po internetnem omrežju sestavila na podlagi teorije grafov z uporabo rezultatov spektralne teorije grafov. To je lep prikaz, kako je neko naivno znanje prešlo v presenetljivo uspešen sistem, ki je boljši od drugih. Takrat sem raziskoval lastne vrednosti Laplaceove matrike, ki so kasneje postale zelo uporabne v računalništvu. Tako pomembne, da se zdaj z njimi seznanijo podiplomski študenti teoretičnega računalništva na vseh večjih univerzah po svetu.

Koliko je zanimanja mladih za teorije grafov?

Kar precej. V Sloveniji je to področje dobro razvito. Slovenska šola teorije grafov je razpoznavna v svetu, je ena večjih v Evropi. Zelo sem zadovoljen, kako se to področje razvija pri nas.

Problem kraškega povodja je v tem, da ne vemo, kako poteka, saj je skrito našim očem. Tu nastopi matematika, pravi sogovornik. FOTO: Voranc Vogel

Sami ste sicer razpeti med Kanado in Slovenijo.

V tujino sem šel že v zrelih letih in ne kot mlad podoktorski študent. V Kanadi so mi ponudili zelo dobre raziskovalne možnosti. Sprva sem mislil, da bom tam le nekaj let, vendar je več okoliščin pripeljalo do tega, da sem ostal. Ko sem pred dobrimi desetimi leti razmišljal, da bi se vrnil, me je v Sloveniji zmotil predvsem problem prisilnega upokojevanja.

Vendar se stalno vračam v Slovenijo, običajno tu preživim pet delovnih mesecev in vesel sem, da mi na Inštitutu za matematiko, fiziko in mehaniko zagotavljajo ustrezne razmere za raziskovalno delo. Veliko mi pomeni tudi, da sem vseskozi ohranjal stik s tukajšnjimi sodelavci. Sam način dela je v obeh državah podoben, je pa, denimo, v Kanadi manj administrativnega dela. Pomembna razlika je tudi dostop do podiplomskih in podoktorskih študentov. Podoktorski študij je pomembna komponenta rasti mladega raziskovalca, da se odlepi od svojega mentorja in razširi znanje. In za številne mlade je kanadska univerza privlačnejša kot majhna Slovenija.

Kako pa bo na vaše delovanje v Kanadi in Sloveniji vplival ERC-projekt?

Ko sem se pridružil temu projektu, je bila v mojih mislih tudi vrnitev v Slovenijo, in med projektom bom povečeval delež časa, ki ga bom preživel tukaj.

V Kanadi tudi predavate?

Da, vendar imam pedagoško razbremenitev, da se lahko posvetim raziskavam. Stik s študenti je sicer nujen. Še največ ga imam s podiplomskimi in podoktorskimi. Ta del moje aktivnosti mi prinaša veliko zadovoljstva. V veselje mi je, da lahko mladega študenta uvedem v raziskovalno delo, ga motiviram in mu pomagam, da najde rešitev kakšnega problema.

Teh v teoriji grafov verjetno še ne bo kar tako zmanjkalo?

Ko se znajdemo na neznanem področju, se moramo vedno vprašati, kateri problemi so relevantni. Pri matematičnem iščemo skrite lastnosti, ki bi nam ga lahko pomagale rešiti. Pri tem uporabimo znane rezultate in razvijemo nova orodja. V teoriji grafov povezujemo in razvijamo kombinatorične, algebrajske in analitične metode. Dokaz nekega novega izreka je lahko dolg in zapleten in prinaša nova vprašanja. Nekako velja, da ko rešiš en problem, se odprejo trije novi. (Nasmešek.)

Teoretični matematik je kot pesnik. Ta napiše pesem zato, ker je lepa, nima pa nujno uporabne vrednosti. FOTO: Voranc Vogel